Uitdaging
In de wiskunde wordt er veel gewerkt met formules. Een veel voorkomende formule is: y = ax + b. Dit is de algemene vorm van een lineaire formule en binnen deze formule bestaat een lineair verband tussen x en y. Dat betekent dat als de waarde van x met even grote stapjes omhoog/omlaag gaat, dat de waarde van y dan ook met even grote stapjes (die groter of kleiner kunnen zijn) omhoog/omlaag gaat.
In deze theorie leggen we je uit hoe je kunt rekenen met lineaire formules.
Methode
De richtingscoëfficiënt en de constante
De grafiek van de lineaire formule y = ax + b is een lijn met de volgende gegevens:
- a is de richtingscoëfficiënt
- b is de constante (ook wel begingetal of startgetal genoemd)
De richtingscoëfficiënt a geeft aan in welke mate de lijn stijgt of daalt en is te berekenen met de volgende formule:
$$\mbox{richtingscoëfficiënt }a=\frac{\mbox{verticale afstand}}{\mbox{horizontale afstand }}$$
De constante b brengt de grafiek omlaag of omhoog. Het geeft aan waar de grafiek de y-as snijdt. Het snijpunt met de y-as is altijd bij x = 0. Je kunt b dus berekenen door voor x = 0 de formule uit te rekenen.
Formule bepalen van een lijn
Indien er een lijn wordt gegeven en je wilt daar de formule bij weten, dankan dat aan de hand van de volgende stappen:
- Stap 1: Bedenk dat de vorm van de formule y = ax + b is.
- Stap 2: Bereken b door x = 0 in te vullen in de formule.
- Stap 3: Bereken a met behulp van de formule: $$\mbox{richtingscoëfficiënt }a=\frac{\mbox{verticale afstand}}{\mbox{horizontale afstand }}$$
- Stap 4: Schrijf de formule op
Voorbeeld
In het assenstelsel met de rode grafiek kun je zien dat de lijn met elk blokje naar rechts tegelijkertijd 3 blokjes omhoog gaat. De richtingscoëfficiënt a is dus 3. Verder is te zien dat op x = 0 de lijn de y-as snijdt op y = 1. Het snijpunt met de y-as is dus (0,1). Dit betekent direct ook dat b = 1.
De lineaire vergelijking is dus y = 3x + 1.
Bij de rode grafiek kun je duidelijk zien hoeveel de lijn stijgt. Maar helaas is dit niet altijd direct af te lezen. Zoals bijvoorbeeld te zien is in de blauwe grafiek. Hier kun je niet aflezen hoeveel de grafiek daalt per stapje naar rechts. Je kunt dit wel berekenen. Hiervoor zoek je 2 punten op de grafiek die je wel duidelijk kunt aflezen. Je ziet dat de blauwe grafiek precies door punt (0,2) en punt (5,0) gaat. Vervolgens bereken je de richtingscoëfficiënt met de formule:
$$\mbox{Richtingscoëfficiënt } a = \frac{\mbox{verticale afstand}}{\mbox{horizontale afstand}} = -\frac{\mbox{2}}{\mbox{4}} = -0,4$$.
Let op: deze richtingscoëfficiënt is negatief, omdat het om een dalende lijn gaat. Je zet er dus een min voor.
