Kwadratische vergelijking oplossen met ontbinden in factoren

Uitdaging

Deze theorie gaat over het ontbinden van kwadratische vergelijkingen in factoren. Als in een vergelijking een variabele, bijvoorbeeld x, in het kwadraat staat noem je dit een kwadratische vergelijking. Als een kwadratische vergelijking deze vorm heeft: x² - ax + b = 0, dan kun je deze oplossen met behulp van ontbinden in factoren (en de product-som-methode).

Hoe die precies werkt leggen we je hier uit.

Methode

Bij het ontbinden schrijf je de vergelijking tussen haakjes. Een kwadratische vergelijking heeft de vorm: x² - ax + b.

De ontbinding hiervan vind je door 2 cijfers te zoeken waarbij geldt:

1. De som van de 2 cijfers is 'a'
2. De vermenigvuldiging/het product van de 2 cijfers is 'b'

Stappenplan

Hoe dit moet laten we zien met het voorbeeld: x² - 5x + 6 = 0

• Stap 1. Schrijf de vergelijking om.
  
  1. De som van de 2 cijfers is -5
  2. De vermenigvuldiging/het product van de 2 cijfers is 6

• Stap 2. Zoek de getallen die hieraan voldoen.
  
  De getallen die hieraan voldoen zijn -3 en -2 want:
  a = -5, dus de som is: -3 - 2 = -5
  b = 6, dus de vermenigvuldiging is -3 · -2 = 6
  
  Een makkelijkere manier om deze getallen te vinden is om een tabel te maken.
  - In de eerste kolom schrijf je 2 getallen waarvan het product 6 is.
  - In de tweede kolom schrijf je de som van de eerste 2 getallen.
  
  Nu zoek je in de som kolom de waarde van a (a = -5 in ons voorbeeld). Dit is bij -2 en -3.
  
  $$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c} \mbox{product van 6} & \mbox{som} \\ \hline 1 · 6=6&1+6=7 \\ -1 · -6=6&-1+-6=-7 \\ 2·3=6&2+3=5 \\ -2·-3=6&-2+-3=-5\end{array}$$

• Stap 3. Schrijf de vergelijking tussen haakjes.
  (x - 3)(x - 2) = 0
• Stap 4: Los de vergelijking op.
  Omdat we hier te maken hebben met een vermenigvuldiging, moet óf het gedeelte tussen de linkerhaakjes, óf het gedeelte tussen de rechterhaakjes gelijk zijn aan 0 om de vergelijking te laten kloppen. Het deel tussen de linkerhaakjes noemen we A, het deel tussen de rechterhaakjes noemen we B.
  
  Dus we kunnen de vergelijking ook schrijven als A · B = 0
  En hiervoor geldt dus: A = 0 ∨ B = 0.
  Dus: x - 3 = 0 ∨ x - 2 = 0
  x = 3 ∨ x = 2

• Je kunt dit altijd checken door x = 3 in te vullen in de vergelijking. Je ziet dat er dan inderdaad 0 uitkomt. En dit is ook het geval als je x = 2 invult in de vergelijking.