de abc-formule

Basis - de abc-formule

  • abc-formule
  • discriminant
  • kwadratische vergelijking oplossen

  Theorie

Uitdaging

Niet alle kwadratische vergelijkingen kun je oplossen door te ontbinden in factoren. Er is een formule waarmee je wel de oplossingen van elke kwadratische vergelijking kunt bereken. Dit is de abc-formule.

Wat deze formule precies is en hoe je ermee werkt leggen we je uit in deze theorie.

Methode

De abc-formule ziet er als volgt uit:

$$x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \vee x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ met $$D = b^{2} - 4ac$$

Elke kwadratische vergelijking kun je schrijven in de vorm van ax2 + bx + c = 0. Om de abc-formule te kunnen toepassen moet je de getallen voor a, b en c vinden. Als de vergelijking bijvoorbeeld 2x2 + 3x + 6 = 0 is, dan heb je a = 2, b = 3 en c = 6.

Soms staat de formule niet zo netjes dat je meteen a, b en c kunt aflezen. Dan moet je de formule eerst omschrijven in de vorm van ax2 + bx + c = 0. Zodra je de getallen voor a, b en c hebt gevonden bereken je de discriminant D van de vergelijking.

De discriminant bereken je door de getallen voor a, b en c in te vullen de formule: D = b2 - 4ac. Daarna kun je de abc-formule gaan invullen. De oplossingen van de vergelijking zijn:

$$x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \vee x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Nu heb je de oplossingen van de vergelijking gevonden. Dit kun je nog controleren door de getallen voor x in de vergelijking in te vullen.

Het stappenplan is als volgt:

  • Stap 1: Als de vergelijking nog niet in de vorm axbx = 0 staat, herschrijf dan de vergelijking naar deze vorm.
  • Stap 2: Schrijf de getallen voor aenop.
  • Stap 3: Bereken de discriminant $$D = b^{2} - 4ac$$
  • Stap 4: Vul vervolgens aben in in de abc-formule.
  • Stap 5: $$x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \vee x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$
  • Stap 6: Controleer je antwoorden door de gevonden getallen voor in de vergelijking in te vullen.

Als je de abc-formule gebruikt komt er vaak geen mooi geheel getal uit. Gebruik dan je rekenmachine om te benaderen. Let op! Altijd pas afronden als je het uiteindelijke antwoord hebt. Dus niet tussenoplossingen ook al afronden.

  Vuistregels

  • Standaardvorm van een kwadratische vergelijking: ax2 + bx + c = 0
  • De abc-formule: $$x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \vee x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ met $$D = b^{2} - 4ac$$

  Voorbeeldvraag

Los de vergelijking op: x2 - 6x = -5

 

Uitwerking

Stap 1: Schrijf eerst de vergelijking in de juiste vorm ax2 + bx + c = 0
Dit doe je door 5 naar links te halen door aan beide kanten er 5 bij op te tellen:
x2 - 6x = -5 wordt dan x2 - 6x + 5 = 0

Stap 2: a = 1, b = -6 en c = 5
Bereken de discriminant: D = b2 - 4ac
D = -62 - 4 · 1 ·5 = 36 - 20 = 16

Stap 3: Vul vervolgens a, b, c en D in in de abc-formule
$$x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \vee x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$
$$x = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 · 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \vee x = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 · 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$.

Dus de oplossingen zijn $$ x = 1 \vee x = 5$$

Stap 4: Controleer je antwoorden door de gevonden getallen voor x in de vergelijking x2 - 6x + 5 = 0 in te vullen. 12 - 6 · 1 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0 en 52 - 6 · 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0. Beide oplossingen kloppen.

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis