De discriminant en het aantal op...

De discriminant en het aantal oplossingen van de abc-formule

  • discriminant
  • abc-formule
  • niet-positieve discriminanten
  • negatieve discriminanten

  Theorie

Uitdaging

De discriminant van een kwadratische vergelijking bereken je met de formule D = b2 - 4ac. De discriminant kan een negatief getal zijn, een positief getal zijn of gelijk zijn aan nul.

De discriminant is bepalend in het aantal oplossing van de kwadratische vergelijking. Waarom dat zo is leggen we je uit in deze theorie.

Methode

Als je die negatieve discriminant vervolgens invult in de abc-formule, dan zou je de wortel van een negatief getal krijgen. Zoals je weet bestaat de wortel van een negatief getal niet. Daarom heeft de vergelijking geen oplossingen als de discriminant een negatief getal is.

  • Dus $$\frac{-b ± \sqrt{D}}{2a}$$ kan niet als D < 0. Hierdoor zijn er dan geen oplossingen voor de vergelijking.

De discriminant kan ook precies 0 zijn.

  • Als D = 0, dan is er maar 1 oplossing voor de kwadratische vergelijking. Dit komt omdat $$\frac{-b - \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{0}}{2a}$$.

Als de discriminant groter dan 0 is, dan zijn er 2 oplossingen voor de kwadratische vergelijking.

Het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking hangt dus af van de discriminant.

  • Geen oplossing als D < 0
  • 1 oplossing als D = 0
  • 2 oplossingen als D > 0

Let op! Er zijn meerdere manieren om een kwadratische vergelijking op te lossen. Je kunt ontbinden in factoren of de abc-formule gebruiken. De abc-formule gebruik je alleen als ontbinden in factoren niet kan. Ontbinden in factoren gaat namelijk sneller en je hebt minder kans op rekenfouten. Vergeet nooit na afloop je antwoord nog eens in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking, zo controleer je je antwoord. Mocht het dan niet kloppen, dan heb je waarschijnlijk ergens een klein rekenfoutje gemaakt.

  Vuistregels

  • Geen oplossing als D < 0
  • 1 oplossing als D = 0
  • 2 oplossingen als D > 0

  Voorbeeldvraag

Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking?

a. 2x2 + 3x + 4 = 0

b. 2x2 + 4x + 2 = 0

 

Uitwerking

a. 2x2 + 3x + 4 = 0

a = 2
b = 3
c = 4

D = 32 - 4 · 2 · 4 = 9 - 32 = -23

De discriminant is negatief, dus de vergelijking heeft 0 oplossingen.

b. 2x2 + 4x + 2 = 0

a = 2
b = 4
c = 2

D = 42 - 4 · 2 · 2 = 16 - 16 = 0

De discriminant is 0, dus de vergelijking heeft 1 oplossing.

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis