Basis 1 - hoeken berekenen met d...

Basis 1 - hoeken berekenen met de tangens

  • tan
  • tangens
  • hellingshoek
  • helling
  • hellingsgetal
  • TOA
  • SOSCASTOA
  • aanliggende rechthoekszijde
  • overstaande rechthoekszijde
  • schuine zijde

  Theorie

Uitdaging

De tangens gebruikt je bij het berekenen van onder andere een hellingshoek.

$$\mbox{tan}(\mbox{hellingshoek}) = \frac{\mbox{verticale verplaatsing}}{\mbox{horizontale verplaatsing}}$$

Voor het rekenen met de tangens kun je in sommige driehoeken direct zien wat de horizontale en verticale verplaatsing is. Maar er zijn ook driehoeken waarbij de rechthoekszijden niet horizontaal en verticaal lopen, zoals de onderste driehoek in de afbeelding.

Als je nu ∠A of ∠B wilt berekenen, is het lastig te bepalen welke zijden je als verticale verplaatsing en horizontale verplaatsing beschouwt. Daarom zijn er meer algemene termen bedacht.

Methode

Als we naar de onderste driehoek kijken in de afbeelding, dan kunnen we het volgende vaststellen:

Zijde BC is de overstaande zijde van ∠A.

Zijde AC is de aanliggende rechthoekszijde van ∠A.

Zijde AB is de schuine zijde in de driehoek.

  • De overstaande zijde van een hoek is altijd de zijde waar de hoek zelf niet aan vast zit. Dus de zijde die tegenover de hoek ligt.
  • De aanliggende rechthoekszijde is een zijde die aan de betreffende hoek vast zit en aan de rechte hoek vastzit.
  • De schuine zijde is altijd de zijde die tegenover de rechte hoek zit. Hierdoor is het ook altijd de langste zijde.

Als je de termen 'verticale verplaatsing' en 'horizontale verplaatsing' nu vervangt voor de nieuwe begrippen, dan krijg je deze vergelijkingen:

  • $$\mbox{tan }\angle A=\frac{\mbox{overstaande zijde van }\angle A}{\mbox{aanliggende zijde van }\angle A}$$
  • $$\angle A=\mbox{tan}^{-1}\left(\frac{\mbox{overstaande zijde van }\angle A}{\mbox{aanliggende zijde van }\angle A}\right)$$

Je kunt dit goed onthouden door het woordje TOA (de eerste letters van de afzonderlijke onderdelen in de formule: Tan, Overstaande, Aanliggende).

  Vuistregels

  • $$\mbox{tan }\angle A=\frac{\mbox{overstaande zijde van }\angle A}{\mbox{aanliggende zijde van }\angle A}$$
  • $$\angle A=\mbox{tan}^{-1}\left(\frac{\mbox{overstaande zijde van }\angle A}{\mbox{aanliggende zijde van }\angle A}\right)$$

  Voorbeeldvraag

Hier zie je een rechthoekige driehoek. Schrijf ∠B als verhouding van twee zijden en bereken de hoek. Rond af op hele graden.

Uitwerking:

$$\mbox{tan}(\angle B)=\frac{\mbox{overstaande zijde van }\angle B}{\mbox{aanliggende zijde van } \angle B}$$ $$\angle B=\mbox{tan}^{-1}\left(\frac{AC}{BC}\right)=\mbox{tan}^{-1}\left(\frac{8,1}{7,3}\right) \approx 48°$$

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis