de discriminant en het aantal sn...

Gevorderd - de discriminant en het aantal snijpunten van de x-as met de parabool

  • discriminant
  • ligging parabool
  • snijpunten x-as
  • parabool en discriminant
  • parameter
  • de abc-formule
  • kwadratische vergelijking
  • kwadratische formules

  Theorie

Uitdaging

De grafiek van een kwadratische functie is een parabool. Als een parabool de x-as snijdt, kun je de snijpunten met de x-as berekenen. Hiervoor moet je de vergelijk ax2 + bx + c = 0 oplossen.

Soms ziet een kwadratische functie er zo uit: f(x) = x2 + 2x + p. Voor de p in de functie kun je elk getal invullen. Hierdoor is deze functie niet slechts 1 functie, maar eigenlijk oneindig veel functies. De p heet een parameter.

Methode

De vergelijking ax2 + bx + c = 0 kun je oplossen met behulp van de abc-formule. Er kunnen geen, 1 of 2 oplossingen zijn voor de vergelijking. Hoeveel oplossingen er zijn hangt af van de discriminant D. De discriminant bereken je met de formule D = b2 - 4ac.

Als:

  • D > 0, dan zijn er 2 oplossingen voor de vergelijking. Dit betekent dat er 2 snijpunten met de x-as zijn.
  • D = 0, dan is er 1 oplossing voor de vergelijking. Dit betekent dat er 1 punt is waarbij de parabool de x-as raakt.
  • D < 0, dan zijn er geen oplossingen voor de vergelijking. Dit betekent dat de parabool de x-as nooit snijdt.

De discriminant geeft dus aan waar de parabool ligt ten opzichte van de x-as. Daarnaast kun je ook aan de functie zien of de parabool een berg- of een dalparabool is.

Als in f(x) = ax2 + bx + c het getal voor a positief is, dus a > 0, dan is de parabool een dalparabool.

Als a negatief is, dus a < 0, dan is de parabool een bergparabool.

In de kwadratische functie f(x) = x2 + 2x + p kan je verschillende waardes voor p invullen:

Vul je in p = 4, dan krijg je f(x) = x2 + 2x + 4.

Maar vul je in p = 2, dan krijg je f(x) = x2 + 2x + 2.

  Vuistregels

  • D > 0, dan zijn er 2 oplossingen voor de vergelijking. Dit betekent dat er 2 snijpunten met de x-as zijn.
  • D = 0, dan is er 1 oplossing voor de vergelijking. Dit betekent dat er 1 punt is waarbij de parabool de x-as raakt.
  • D < 0, dan zijn er geen oplossingen voor de vergelijking. Dit betekent dat de parabool de x-as nooit snijdt.

  Voorbeeldvraag

a. Hoeveel snijpunten met de x-as heeft de parabool y = 3x2 + 2x + 3?

b. Voor welke p heeft de parabool y = 2x2 + 4x + p 1 raakpunt met de x-as?

 

Uitwerking

a. Bepaal eerst a, b, en c.

a = 3
b = 2
c = 3

D = b2 - 4ac = 22 - 4 · 3 · 3 = 4 - 36 = -32

D < 0, dus geen snijpunten met de x-as.

b. De parabool heeft 1 raakpunt met de x-as als de discriminant 0 is.

a = 2
b = 4
c = p

D = 42 - 4 · 2 · p = 16 - 8p

Er is 1 raakpunt als D = 0.

16 - 8p = 0
16 = 8p
p = 2

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis