Bijzondere kwadratische ongelijk...

Bijzondere kwadratische ongelijkheden

  • bijzondere ongelijkheden
  • discriminant
  • bergparabool
  • dalparabool
  • kwadratische ongelijkheden
  • kwadratische vergelijkingen

  Theorie

Uitdaging

Een kwadratische ongelijkheid heeft de vorm van een kwadratische vergelijking, maar dan zijn de linker- en rechter kant van de vergelijking niet aan elkaar gelijk, maar juist ongelijk aan elkaar.

Ongelijkheden kunnen worden aangegeven met de tekens kleiner dan < en groter dan >. Hoe je deze vergelijkingen kunt oplossen leggen we je uit in deze theorie.

Methode

Kwadratische ongelijkheden kunnen verschillende grafieken tot stand brengen. Als (volgens de abc-formule) a > 0, dan is de grafiek een dalparabool en als a < 0, dan is de grafiek een bergparabool.

  • Als we naar figuur 1 kijken, zien we dat f(x) groter dan 0 is behalve op x = 4. Dit noteren we als volgt: f(x) > 0 voor $$x {\neq} { 4} $$

    Daarbij de f(x) voor geen enkele x kleiner dan 0, dus f(x) < 0 voor geen enkele x.
  • Als we naar figuur 2 kijken, zien we dat voor d(x) het tegenovergestelde van f(x) geldt.

    d
    (x) is voor geen enkele x groter dan 0, dus d(x) > 0 voor geen enkele x. Daarbij is d(x) voor alle x kleiner dan 0, behalve voor x = 4. Dus d(x) < 0 voor $$\mbox {x} {\neq} { 4} $$.
  • In figuur 3 zien we dat h(x) voor alle x groter is dan 0 en voor geen enkele x kleiner is dan 0.

    h(x) > 0 voor elke x
    h(x) < 0 voor geen enkele x
  • In figuur 4 zien we dat k(x) voor alle x kleiner is dan 0 en voor geen enkele x groter is dan 0.

    k(x) < 0 voor elke x
    k(x) > 0 voor geen enkele x

Het oplossen van een bijzondere vergelijking kunnen we doen met de volgende stappen.

  • Stap 1: Stel de vergelijking gelijk aan 0.
  • Stap 2: Het aantal oplossingen voor een kwadratische ongelijkheid kunnen we bepalen door de discriminant te bepalen volgens de abc-formule.
    • D > 0, er zijn 2 oplossingen.
    • D = 0, er is 1 oplossing.
    • D < 0, er zijn geen oplossingen.
  • Stap 3: Bereken de oplossing.
  • Stap 4: Kijk of de vergelijking een dal- of bergparabool is aan de hand van a en met de gevonden oplossingen kun je zien waar de grafiek de x-as snijdt.
  • Stap 5: Nu kun je het antwoord noteren aan de hand van de vergelijking wanneer deze groter of kleiner dan 0 is.

  Vuistregels

  • D = b2 - 4 · a · c
  • $$x=\frac{-b - \sqrt{D}}{2 · a} $$
  • $$x=\frac{-b + \sqrt{D}}{2 · a} $$
  • D > 0, er zijn 2 oplossingen.
  • D = 0, er is 1 oplossing.
  • D < 0, er zijn geen oplossingen.
  • a > 0, dalparabool
  • a < 0, bergparabool
  • x2 = negatief, dan zijn er geen oplossingen.

  Voorbeeldvraag

Los op.

a. x2 - 2x + 6 > 0

b. 2x2 + 3x - 4 < 0

 

Uitwerking

a. Stap 1: Stel de vergelijking gelijk aan 0.

x2 - 2x + 6 = 0

Stap 2: Indien zelf geen oplossing te vinden, gebruik abc-formule.

a = 1, b = -2, c = 6
D = -22 - 4 · 1 · 6 = -20

Stap 3: Bereken de oplossing.

D < 0, dus er zijn geen oplossingen.

Stap 4: Bepaal of de vergelijking een dal- of bergparabool is en kijk waar de grafiek de x-as snijdt.

De grafiek is een dalparabool, want a > 0, die de x-as niet snijdt.

 

b. Stap 1: Stel de vergelijking gelijk aan 0.

2x2 + 3x - 4 = 0

Stap 2: Indien zelf geen oplossing te vinden, gebruik abc-formule.

a = 2, b = 3, c = -4
D = 32 - 4 · 2 · -4 = 41

Stap 3: Bereken de oplossing.

D > 0, er zijn 2 oplossingen.
$$x=\frac{-3 - \sqrt{41}}{2 · 2} = -2,4$$
$$x=\frac{-3 + \sqrt{41}}{2 · 2} = 0,9$$

Stap 4: Bepaal of de vergelijking een dal- of bergparabool is en kijk waar de grafiek de x-as snijdt.

De grafiek is een dalparabool want a > 0 en snijdt de x-as in de punten (-2,4, 0) en (0,9, 0).

Stap 5: Noteer je antwoord voor wanneer de vergelijking kleiner is dan 0.

2x2 + 3x - 4 < 0 voor x < -2,4 en x > 0,9

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis