Rekenen met Pythagoras en sinus,...

Rekenen met Pythagoras en sinus, cosinus en tangens in ruimtefiguren

  • Pythagoras
  • ruimtelijke figuren
  • goniometrische verhoudingen
  • sinus
  • cosinus
  • tangens
  • SOSCASTOA
  • zijden berekenen
  • hoeken berekenen

  Theorie

Uitdaging

Met Pythagoras en goniometrische verhoudingen (sinus, cosinus, tangens) is het mogelijk om hoeken en afstanden in rechthoekige driehoeken te berekenen. Met de regels die je hebt geleerd over Pythagoras en goniometrische verhoudingen kun je ook hoeken en afstanden berekenen in ruimtefiguren zoals een kubus, balk of piramide.

Hoe dat precies in zijn werk gaat behandelen we in deze theorie.

Methode

Hoeknotatie

Eenzelfde hoek kan op verschillende manieren worden genoteerd. ∠ABC is de hoek die je krijgt door van punt A via B naar C te gaan. Het hoekpunt ligt bij de middelste letter. Hoek ∠ABC kan dus ook worden geschreven als ∠CBA. Ook kan de hoek korter worden beschreven als ∠b.

Ruimtefiguren

Om de lengte van een ribbe te berekenen kan vaak de stelling van Pythagoras worden gebruikt. De stelling van Pythagoras mag alleen worden gebruikt in driehoeken met een hoek van 90° (rechthoekige driehoeken). Bij een balk (een object dat bestaat uit 6 rechthoeken) is elk diagonaalvlak en elk zijvlak een rechthoek.

Om hoeken te berekenen is het handig om de goniometrische verhoudingen sinus, cosinus en tangens te gebruiken. Deze verhoudingen gelden alleen bij rechthoekige driehoeken. Om hoeken te berekenen is het vaak handig om het volgende stappenplan te gebruiken:

Stap 1: Zoek een geschikte rechthoekige driehoek of diagonaalvlak.

Stap 2: Schets de driehoek of het diagonaalvlak zelf in je schrift, dan heb je beter overzicht van wat je moet berekenen en hoe je dit moet doen.

Stap 3: Kijk of alle benodigde lengtes van de ribben bekend zijn die nodig zijn om met een goniometrische verhouding de hoek te berekenen (gebruik het ezelsbruggetje SOSCASTOA). Als dit niet zo is, bereken dan eerst de lengte van een benodigde zijde (Pythagoras).

Stap 4: Gebruik een goniometrische verhouding om de hoek te berekenen.

  Vuistregels

  • Hoeken kunnen meestal worden genoteerd met 3 letters.
  • Een balk bestaat uit 6 rechthoeken. Bij een balk is elk diagonaalvlak en elk zijvlak een rechthoek.
  • Een kubus is een balk met 6 gelijke vierkanten. De lengte, hoogte en breedte van een kubus zijn dus gelijk.

  Voorbeeldvraag

a. Noteer de hoeken ∠D2 en ∠Ein figuur 1 met drie letters.

b. Bereken ∠BCE in figuur 1 (Rond af op 1 decimaal nauwkeurig).

c. Bereken ∠DFH in figuur 2 (Rond af op 1 decimaal nauwkeurig).

 

Uitwerking

a. ∠D2 is de hoek die je krijgt door van punt A via D naar C te gaan (of van punt C via D naar A). Dus ∠D2 = ∠ADC = ∠CDA.

E1 is de hoek die je krijgt door van punt A via E naar B te gaan (of van punt B via E naar A). Dus ∠E1 = ∠AEB = ∠BEA.

b. Stappenplan:

  1. Werk in het geschikte diagonale vlak.
  2. Teken dit diagonaal vlak (zie de schets 1).
  3. Bereken de gevraagde hoek door een goniometrische verhouding te gebruiken:

$$\mbox{tan}(∠BCE) =\frac{BE}{BC}=\frac{6}{5}=1,2$$

$$∠BCE = \mbox{tan}^-1 (1,2) = 50,2^{\circ}$$

c. Stappenplan:

  1. Werk in het geschikte diagonale vlak.
  2. Teken dit diagonaal vlak (zie de schets 2).
  3. Bereken FH met de stelling van Phytagoras in ΔEFH.
  4. Bereken de gevraagde hoek door een goniometrische verhouding te gebruiken.

Stap 3:

In ΔEFH is FH2 = EF2 + EH2 = 52 + 62 = 25 + 36 = 61

$$FH=\sqrt{61}$$

Stap 4:

In ΔDFH is $$\mbox{tan}(∠DFH) =\frac{DH}{FH}=\frac{7}{\sqrt{61}}$$ $$∠DFH = \mbox{tan}^-1 (\frac{7}{\sqrt{61}}) = 41,9^{\circ}$$

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis