sinus, cosinus en tangens in de ...

Basis - sinus, cosinus en tangens in de praktijk

  • SOSCASTOA
  • sinus
  • cosinus
  • tangens
  • rechthoekige driehoek
  • driehoek
  • rekenen in de praktijk

  Theorie

Uitdaging

Met de SOSCASTOA regel kunnen we gemakkelijk de volgorde van de verschillende goniometrische verhoudingen onthouden. We kunnen hiermee hoeken en zijden bepalen van een rechthoekige driehoek.

In de praktijk komen veel problemen voor die je als driehoek kunt benaderen en daarmee met de sinus, cosinus en tangens kunt oplossen. Zoals bijvoorbeeld de situatie van Anna die van de kabelbaan afglijdt in de afbeelding. In deze theorie leggen we je uit hoe je met goniometrische verhoudingen in de praktijk kunt rekenen.

Methode

Voordat we gaan rekenen met de SOSCASTOA regel moeten we op de volgende punten letten:

  • Als er geen sprake is van een rechthoekige driehoek, is het belangrijk een hulplijn te tekenen. Schets dus eerst de situatie en teken hulplijnen indien nodig.
  • Rond tussendoor nooit je antwoorden af. Het is belangrijk om dan de 'Ans' toets op je rekenmachine te gebruiken. Als je namelijk wel afrondt, kun je wel eens op een ander eind antwoord komen.

De goniometrische verhoudingen zijn:

  • $$\mbox{Sin }(\angle {A}) = \frac{\mbox{ overstaande rechthoekszijde van} \angle{A}}{\mbox{ schuine zijde}}$$
  • $$\mbox{Cos }(\angle{A}) = \frac{\mbox{ aanliggende rechthoekszijde van}\angle{A}}{\mbox{ schuine zijde}}$$
  • $$\mbox{Tan }(\angle{A}) = \frac{\mbox{ overstaande rechthoekszijde van} \angle{A}}{\mbox{ aanliggende rechthoekszijde van}\angle{A}}$$ 

 

Er kunnen in de praktijk twee dingen voorkomen: je moet een hoek berekenen of je moet een zijde berekenen. Bekijk altijd goed de situatie, schrijf op welke dingen er gegeven zijn en wat er gevraagd is. Denk daarna na over welke formule je nodig hebt om het probleem op te kunnen lossen. Het is ook handig om voor jezelf de situatie te tekenen als een driehoek als dat niet bij de vraag staat, dan is het een stuk overzichtelijker.

Hoek berekenen

Laten we als voorbeeld de tangens nemen (bij de sinus en de cosinus kun je de formule op dezelfde manier omschrijven). Als je als laatste stap de hoek wilt uitrekenen, dan moet je de 'inverse' tangens nemen van de gegeven verhouding van de zijden (je kunt hiervoor op je rekenmachine de knoppen SHIFT+tan gebruiken, je ziet dat er dan tan-1 komt te staan). Hieronder zie je de originele formule voor de tangens en ook de versie waarmee je direct de hoek uitrekent.

  • $$\mbox{tan }\angle A=\frac{\mbox{overstaande zijde van }\angle A}{\mbox{aanliggende zijde van }\angle A}$$
  • $$\angle A=\mbox{tan}^{-1}\left(\frac{\mbox{overstaande zijde van }\angle A}{\mbox{aanliggende zijde van }\angle A}\right)$$

Als je erachter wilt komen welke formule (sinus, cosinus of tangens) je moet gebruiken om een hoek uit te rekenen, bekijk dan welke zijden gegeven zijn (aanliggende, overstaande of schuine zijde) en kijk dan in welke formule de twee gegeven zijden voorkomen.

Zijde berekenen

Als we nu bijvoorbeeld de formule van de tangens omschrijven zodat een van de zijden alleen aan de linkerkant staat, dan kun je zien hoe je deze zijde kunt berekenen als de andere gegevens (de hoek en de andere zijde) bekend zijn:

  • $${\text{overstaande rechthoekszijde van } \angle A} = \text{tan}(\angle {A})·\mbox{aanliggende rechthoekszijde van }\angle A$$
  • $$\text{aanliggende rechthoekszijde van }\angle A = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde van } \angle{A}}{\text{tan}(\angle{A})}$$

Als je erachter wilt komen of je de sinus, cosinus of tangens moet gebruiken, volg je de volgende stappen:

  • Stap 1: Bestudeer de afbeelding en bekijk welke zijde gegeven is (aanliggende, overstaande of schuine zijde) en welke zijde je wilt weten.
  • Stap 2: Bekijk in welke formule deze zijden staan.
  • Stap 3: Vul deze formule in en reken de ontbrekende zijde uit

  Vuistregels

  • $$\mbox{Sin }(\angle {A}) = \frac{\mbox{ overstaande rechthoekszijde van} \angle{A}}{\mbox{ schuine zijde}}$$
  • $$\mbox{Cos }(\angle{A}) = \frac{\mbox{ aanliggende rechthoekszijde van}\angle{A}}{\mbox{ schuine zijde}}$$
  • $$\mbox{Tan }(\angle{A}) = \frac{\mbox{ overstaande rechthoekszijde van} \angle{A}}{\mbox{ aanliggende rechthoekszijde van}\angle{A}}$$

  Voorbeeldvraag

Jochem gaat op wintersport en rijdt met zijn familie door de Alpen. De auto rijdt over een rechte weg een berg op met een helling van 20%. Als ze boven op de berg zijn, hebben zij een afstand van 300 meter afgelegd. Hoeveel hoogtemeters heeft de familie van Jochem afgelegd in de auto om naar de top van de berg te komen? Rond het antwoord af op 2 decimalen.

Uitwerking:

We maken eerst een schematische schets van de situatie. Dan rekenen we het hellingspercentage om naar een hoek in graden:

20% helling betekent dat tan(∠A) = 0,20.

Dus: $$\angle{A} = \mbox{tan}^{-1}(0,20) = 11,3099...^{\circ}$$ (we ronden het antwoord hier niet af, maar gebruiken de 'Ans' toets op de rekenmachine).

Nu kunnen we de SOSCASTOA regel gebruiken. De schuine zijde is bekend (=300 meter) en we moeten de overstaande rechthoekszijde weten (de verplaatsing in de hoogte). We gebruiken in deze situatie daarom de sinus:

$$\mbox{Sin }(\angle{A}) = \frac{\mbox{overstaande zijde}}{\mbox{schuine zijde}}$$

Dit invullen geeft:

$$\mbox{Sin }(11,3099...^{\circ})=\frac{\mbox{overstaande zijde}}{300}$$

Dit kunnen we vervolgens omschrijven, als volgt: $${\text{overstaande rechthoekszijde van } \angle A} = \text{sin}(11,3099...^{\circ})·\mbox{300} = 58,83$$

Het aantal hoogtemeters dat de familie van Jochem afgelegd in de auto om naar de top van de berg te komen is dus 58,83 meter.

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis