Gelijkvormigheid - gebruik maken...

Gelijkvormigheid - gebruik maken van overstaande hoeken, F-hoeken en Z-hoeken

  • Z-hoeken
  • F-Hoeken
  • overstaande hoeken
  • gelijkvormigheid
  • gelijkvormige driehoeken

  Theorie

Uitdaging

Gelijkvormige driehoeken zijn driehoeken die qua vorm identiek zijn aan elkaar en waarvan de hoeken gelijk zijn. Om gelijkvormig te zijn, moeten er dus drie hoeken even groot zijn als de drie hoeken van de andere driehoek.

In de praktijk betekent dit echter dat zodra er twee paar gelijke hoeken zijn, dat er gesproken kan worden van gelijkvormige driehoeken, want als er twee paar hoeken gelijk zijn, is het derde paar hoeken ook altijd gelijk. Dus: voor gelijkvormigheid bij driehoeken moeten er twee gelijke hoekparen zijn.

Om gelijkvormigheid vast te kunnen stellen kun je soms gebruik maken van de stellingen over overstaande hoeken bij snijdende lijnen, F-hoeken bij evenwijdige lijnen en Z-hoeken bij evenwijdige lijnen. In deze theorie gaan we hier verder op in.

Methode

Als je wilt weten of twee driehoeken gelijkvormig zijn, moet je dus nagaan of je twee hoekenparen kunt vinden die gelijk zijn aan elkaar. Als deze bestaan, dan zijn de driehoeken gelijkvormig en dus kun je een verhoudingstabel gebruiken om de zijden te berekenen. In de volgende situaties is er sprake van gelijke hoeken:

  • Overstaande hoeken bij snijdende lijnen
  • F-hoeken bij evenwijdige lijnen
  • Z-hoeken bij evenwijdige lijnen

Je kan de F-figuur en Z-figuur dus als hulpmiddel gebruiken om erachter te komen welke hoeken gelijkvormig zijn. Bekijk de afbeelding van de Z-hoek, de hoeken met de zelfde letters zijn gelijk. Als er een F-hoek te ontdekken is dan weet je ook dat een aantal hoeken gelijk zijn. Deze eigenschappen over gelijke hoeken, geven je nuttige informatie als er gevraagd wordt onbekende hoeken te berekenen.

Nadat je de gelijke hoeken hebt gevonden kan je de onbekende zijden vinden door middel van een verhoudingstabel.

  Vuistregels

  • Bij snijdende lijnen zijn overstaande hoeken gelijk aan elkaar.
  • Bij evenwijdige lijnen kun je Z-hoeken en F-hoeken ontdekken.

  Voorbeeldvraag

In de afbeelding is AB // DE.

a. Maak af ΔABC ~ Δ...

b. Bereken BC.

c. Bereken CD.

Uitwerking:

a. Vind eerst de gelijke hoeken:

A = ∠E (Z-hoeken)

B = ∠D (Z-hoeken)

C = ∠C (Overstaande hoeken)

Vul nu de letters in in de goede volgorde: ΔABC ~ ΔEDC

b. Maak eerst een verhoudingstabel:

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} ΔABC & AB & BC & AC \T \\\hline ΔEDC \T & ED & DC & EC \end{array}$$

Vul nu de tabel in met de gegeven getallen:

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} ΔABC & 15 & BC & 9 \T \\\hline ΔEDC \T & 10 & 8 & EC \end{array}$$

Splits nu de tabel zodat je 3 getallen en het getal wat je wilt vinden overhoudt.

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} 15 & BC \T \\\hline 10 \T & 8\end{array}$$

In een verhoudingstabel kan je kruiselings vermenigvuldigen:

BC · 10 = 15 · 8

$$BC=\frac{15·8}{10}=\frac{120}{10}=12$$

BC = 12

c. Splits de tabel uit vraag b maar nu voor EC:

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} 15 & 9 \T \\\hline 10 \T & EC \end{array}$$

In een verhoudingstabel kan je kruiselings vermenigvuldigen:

15 · EC = 9 · 10 $$EC=\frac{9·10}{15}=\frac{90}{15}=6$$

EC = 6

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis