Driehoeken - zijden met wortels ...

Driehoeken - zijden met wortels berekenen met Pythagoras

  • rechthoekige driehoek
  • oppervlakte driehoek
  • omtrek driehoek
  • wortels
  • rekenen met wortels
  • zijden met wortels
  • pythagoras en wortels

  Theorie

Uitdaging

Je kunt met de Stelling van Pythagoras uitrekenen wat de lengte van de onbekende zijde is van een rechthoekige driehoek. Je gebruikt hiervoor de formule: $$a^2 + b^2 = c^2$$, waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde is van de rechthoekige driehoek.

Soms is de lengte van een zijde van een rechthoekige driehoek niet gegeven als een gewoon getal, maar staat er ook een wortel in, bijvoorbeeld het getal $$2\sqrt{5}$$. Ook in dit geval kun je gewoon de Stelling van Pythagoras, de formule voor de omtrek van een driehoek en de formule voor de oppervlakte van een driehoek gebruiken. Je moet alleen even weten hoe je met deze wortels moet rekenen.

In deze theorie leggen we je uit hoe je de Stelling van Pythagoras kunt gebruiken als de lengte van de zijden van een rechthoekige driehoek is uitgedrukt in wortels. Ook bekijken we hoe je de omtrek en de oppervlakte van de driehoek dan berekent.

Methode

Heb je te maken met een rechthoekige driehoek dan kun je zowel de omtrek als de oppervlakte berekenen. Om de omtrek te berekenen moet je alle zijden bij elkaar optellen. Je zult dus allereerst moeten berekenen hoe groot elke zijde is. Wil je bijvoorbeeld in rechthoekige driehoek ABC de schuine zijde AC berekenen, dan gebruik je de stelling van Pythagoras:

$$AB^2 + BC^2 = AC^2$$

Stel dat zijde AB = 4 en zijde BC = 3, dan bereken je zijde AC als volgt:

$$4^2 + 3^2 = AC^2$$
$$AC^2 = 25$$
$$AC = \sqrt{25} = 5$$

Maar stel nu dat zijde $$AB = 2\sqrt{5}$$ en zijde $$BC = 3\sqrt{10}$$. De stelling van Pythagoras ziet er direct een stuk ingewikkelder uit. Daarom is het extra belangrijk dat je zorgvuldig te werk gaat.

$$(2\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{10})^2 = AC^2$$
$$2^2 · \sqrt{5}^2 + 3^2 · \sqrt{10}^2 = AC^2$$
$$4 · 5 + 9 · 10 = AC^2$$
$$AC^2 = 110$$
$$AC = \sqrt{110}$$

Als je alle zijden van de driehoek weet, dan kun je de omtrek berekenen door alle zijden bij elkaar op te tellen.

Voor het berekenen van de oppervlakte geldt: $$\mbox{Opp driehoek} = \frac{1}{2} · \mbox{zijde} ·\mbox{bijbehorende hoogte}$$

  Vuistregels

  • $$\mbox{AB}^2 + \mbox{BC}^2 = \mbox{AC}^2$$
  • $$\mbox{Opp driehoek} = \frac{1}{2} · \mbox{zijde} ·\mbox{hoogte}$$
  • $$({\sqrt{x}})^2 = x$$
  • $$(ab)^2 = a^2 · b^2$$
  • $${\sqrt{a}} · {\sqrt{b}} = {\sqrt{ab}}$$

  Voorbeeldvraag

Zie de afbeelding.

a. Bereken van driehoek ABC de omtrek.

b. Bereken de oppervlakte van driehoek ABC.

Uitwerking:

a. Stap 1: Reken de onbekende zijde uit:

$$AC^2 + AB^2 = BC^2$$

$$ (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{6})^2 = BC^2$$

$$ 4 · 2 + 4 · 6 = BC^2$$

$$ 8 + 24 = BC^2$$

$$ 32 = BC^2$$

$$BC = \sqrt{32}$$

Let op! Kijk altijd of je nog verder kunt vereenvoudigen.

$$\sqrt{32} = \sqrt{16} · \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

Stap 2: Bereken de omtrek

$$\mbox{Omtrek driehoek } = \mbox{ zijde }AB + \mbox{zijde }BC + \mbox{zijde }AC$$

$$\mbox{Omtrek driehoek} = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 2\sqrt{6} + 6\sqrt{2}$$

b. Bereken de oppervlakte van driehoek ABC:

$$\mbox{Opp driehoek} = \frac{1}{2} · \mbox{zijde} ·\mbox{bijbehorende hoogte}$$

$$\mbox{Opp driehoek} = \frac{1}{2} · 2\sqrt{6} · 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} · 4\sqrt{12} = 2\sqrt{12}$$

Let op! Ook hier kun je de som weer verder vereenvoudigen. $$2\sqrt{12} = 2 · \sqrt{4} · \sqrt{3} = 2· 2 · \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis