lineaire vergelijkingen met breu...

Gevorderd - lineaire vergelijkingen met breuken oplossen door kruislings vermenigvuldigen

  • kruislings vermenigvuldigen
  • oplossen van lineaire vergelijkingen
  • vergelijkingen met breuken
  • de balansmethode
  • gebroken vergelijkingen

  Video

  Theorie

Uitdaging

Een vergelijking zoals $$\frac{x}{a} = b$$ (waarbij a en b constante getallen zijn) kan je oplossen door kruislings te vermenigvuldigen. Soms heb je te maken met vergelijking waarbij aan beide kanten van het =-teken een breuk staat. Dit heet een gebroken vergelijking. Ook zo'n vergelijking kun je oplossen door kruislings te vermenigvuldigen.

Hoe dit precies werkt leggen we uit in deze theorie.

Methode

Voor kruislings vermenigvuldigen moet je aan beide kanten van het =-teken een breuk hebben staan. In het voorbeeld $$\frac{x}{a} = b$$ is dat nog niet het geval, dus je moet eerst constante b schrijven als een breuk: $$\frac{x}{a} = \frac{b}{1}$$

Deze vergelijking kun je nu oplossen door kruislings te vermenigvuldigen.

$$x \cdot 1 = a \cdot b$$ dus $$x = ab$$

Een vergelijking in de vorm van $$\frac{a}{x} = b$$ kan je ook oplossen op deze manier.

$$\frac{a}{x} = \frac{b}{1}$$ dus $$a = bx$$ dus $$x = \frac{a}{b}$$

Je kunt een vergelijking met een breuk aan de ene kant en een getal aan de andere kant dus oplossen door het getal eerst als een breuk te schrijven. Maar je zou ook dit stapje kunnen overslaan en direct je antwoord berekenen.
Uit dit voorbeeld kan je namelijk de volgende algemene formule afleiden:

$$\frac{x}{a} = b$$ geeft $$x = ab$$ en $$\frac{a}{x} = b$$ geeft $$x = \frac{a}{b}$$

 

Als je op een gegeven moment niet meer zeker weet wat de regel ook alweer is, kun je deze met een eenvoudig voorbeeld ook zelf weer bedenken. Moet je bijvoorbeeld de vergelijking $$\frac{x}{2} = 4$$ oplossen, maar twijfel je of je nou 2 · 4 moet doen, of $$\frac{2}{4}$$ of misschien wel $$\frac{4}{2}$$? Schrijf dan een getallenvoorbeeld op in dezelfde vorm als de vraag, bijvoorbeeld $$\frac{6}{3} = 2$$.  De x in de vraag $$\left (\frac{x}{2} = 4\right)$$ staat op de plek van de 6 in je getallenvoorbeeld $$\left (\frac{6}{3} = 2 \right )$$. Om de 6 te berekenen, moet je 3 · 2 uitrekenen. In de vraag zou dit betekenen dat je x kunt berekenen door 2 · 4 uit te rekenen en dus is x = 8.

 

Gebroken vergelijking

Soms heb je te maken met vergelijking waarbij aan beide kanten van het =-teken een breuk staat. Dit heet een gebroken vergelijking. Ook zo'n vergelijking kun je oplossen door kruislings te vermenigvuldigen.

Stel je hebt de vergelijking $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Dit lossen we op door kruislings te vermenigvuldigen: a · d = b · c

Bijvoorbeeld: $$\frac{3}{6} = \frac{5}{10} $$

We vullen dit in een verhoudingstabel:

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c}3 & 6 \T \\\hline 5 \T & 10 \end{array}$$ wat betekent dat 3 · 10 = 6 · 5 dus 30 = 30

Nu passen we deze methode toe in een vergelijking. We nemen bijvoorbeeld voor a = 4, b = x + 4, c = 2, d = 5. $$\frac{4}{x + 4} = \frac{2}{5}$$

a · d = b · c
4 · 5 = (x + 4) · 2
20 = 2x + 8
12 = 2x
x = 6

  Vuistregels

  • $$\frac{x}{a} = b$$ geeft $$x = ab$$
  • $$\frac{a}{x} = b$$ geeft $$x = \frac{a}{b}$$
  • $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ geeft $${a · d = b · c}$$

  Voorbeeldvraag

Los de volgende vergelijkingen op.

a. $$\frac{x}{5} = 4$$

b. $$\frac{2}{x} = 3$$

c. $$\frac{x}{3,5} = 0,25$$

d. $$\frac{4x}{2} = \frac{8}{2}$$

 

Uitwerking

a. Gebruik de regel $$\frac{x}{a} = b$$ geeft $$x = ab$$.

$$\frac{x}{5} = 4$$ geeft $$x= 5 \cdot 4 = 20$$.

b. Gebruik de regel $$\frac{a}{x} = b$$ geeft $$x = \frac{a}{b}$$.

$$\frac{2}{x} = 3$$ geeft $$x = \frac{2}{3} \approx 0,666..$$

c. Gebruik de regel $$\frac{x}{a} = b$$ geeft $$x = ab$$.

$$\frac{x}{3,5} = 0,25$$ geeft $$x = 3,5 \cdot 0,25 = 0,875$$.

d. Gebruik de regel $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ geeft $${a · d = b · c}$$

$${4x · 2 = 2 · 8}$$ dus $${8x = 16}$$ dus $$x = \frac{16}{8} = 2$$

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis