Niet-gelijksoortige wortels herl...

Niet-gelijksoortige wortels herleiden

  • niet-gelijksoortige wortels
  • factor voor het wortelteken
  • wortels herleiden
  • wortelvergelijkingen
  • rekenen met wortels

  Theorie

Uitdaging

Bij het optellen of aftrekken van gelijksoortige wortels kun je de som herleiden.

$$a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a + b)\sqrt{x}$$

$$a\sqrt{x} - b\sqrt{x} = (a - b)\sqrt{x}$$

Als wortels niet-gelijksoortig zijn kun je de bovenstaande regels niet toepassen. Niet-gelijksoortige wortels zijn wortels met verschillende getallen onder het wortelteken.

Methode

Factor voor het wortelteken brengen

Maar hoe kun je een optel- of aftreksom met niet-gelijksoortige wortels toch herleiden? De oplossing is door een factor voor het wortelteken brengen zodat de wortels gelijksoortig worden.

$$\sqrt{b}$$ ga je omschrijven zodat het gewenste getal op de plek van de b komt te staan.

Stel dat je deze som wilt herleiden $$\sqrt{48} + 4\sqrt{12} $$

De wortels zijn niet-gelijksoortig. Om toch deze som te kunnen herleiden, kun je proberen de wortels gelijksoortig te maken. Let op, dit kan niet altijd. Om de wortels gelijksoortig te maken, ga je een factor voor het wortelteken halen. Onder het wortelteken wil je een zo klein mogelijk getal over houden. Dit kun je bereiken door een de grootst mogelijke factor voor het wortelteken te brengen. Een factor voor een wortel brengen doe je met behulp van deze formule:

$$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$

Je gebruikt de formule alleen dan andersom. Dus neem $$\sqrt{48}$$. Dit kun je ook schrijven als:

$$\sqrt{2} \cdot \sqrt{24}$$

$$\sqrt{3} \cdot \sqrt{16}$$

$$\sqrt{4} \cdot \sqrt{12}$$

$$\sqrt{6} \cdot \sqrt{8}$$

Uit dit rijtje kies je het duo van wortels waarvan één van beide wortels op een heel getal uitkomt en de andere wortel zo klein mogelijk is.

$$\sqrt{2} \cdot \sqrt{24}$$ komen beide niet uit op een heel getal.

$$\sqrt{3} \cdot \sqrt{16}$$ --> $$\sqrt{16} = 4$$ en $$\sqrt{3}$$ houd je over.

$$\sqrt{4} \cdot \sqrt{12}$$ --> $$\sqrt{4} = 2$$ en $$\sqrt{12}$$ houd je over.

$$\sqrt{6} \cdot \sqrt{8}$$ komen beide niet uit op een heel getal.

In dit geval kies je dus $$\sqrt{3} \cdot \sqrt{16} = \sqrt{3} \cdot 4 = 4\sqrt{3}$$

We wilden deze som herleiden: $$\sqrt{48} + 4\sqrt{12} $$

$$\sqrt{48}$$ hebben we nu omgeschreven tot $$4\sqrt{3}$$. Op dezelfde manier kun je $$4\sqrt{12}$$ omschrijven:

$$4\sqrt{12} = 4 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$

Nu kunnen we wortels bij elkaar optellen

$$\sqrt{48} + 4\sqrt{12} = 4\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$

Om sommen met wortels erin goed te kunnen oplossen, is het belangrijk dat je de rekenregels van wortels goed kent! Hier staan ze nog eens op een rijtje:

  • $$(a\sqrt{b})^2 = a^2 · \sqrt{b}^2 = a^2 · b $$
  • $$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$
  • $$a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a + b)\sqrt{x}$$
  • $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

  Vuistregels

  • $$(a\sqrt{b})^2 = a^2 · \sqrt{b}^2 = a^2 · b $$
  • $$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$
  • $$a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a + b)\sqrt{x}$$
  • $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

  Voorbeeldvraag

Herleid.

a. $$ 3\sqrt{12} - 4\sqrt{3}$$

b. $$\frac{4\sqrt{64}}{2\sqrt{16}}$$

c. $$(3\sqrt{4})^2 + (2\sqrt{3})^2$$

 

Uitwerking

a. $$3\sqrt{12}$$ kun je schrijven als $$3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$$ óf $$3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{4}$$. Je kiest hier voor de tweede optie, want alleen $$\sqrt{4}$$ is te schrijven als een heel getal.

$$ 3\sqrt{12} - 4\sqrt{3}$$

$$= 3 · \sqrt{3} · \sqrt{4} - 4\sqrt{3}$$

$$= 3 · 2 · \sqrt{3} - 4\sqrt{3} $$

$$= 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} $$

$$= 2\sqrt{3}$$

b. $$\frac{4\sqrt{64}}{2\sqrt{16}} = \frac{2\sqrt{64}}{\sqrt{16}} = \frac{2 · 8}{4} = \frac{16}{4} = 4$$

c. $$(3\sqrt{4})^2 + (2\sqrt{3})^2 = (3^2 · 4) + (2^2 · 3) = (9 · 4) + (4 · 3) = 36 + 12 = 48$$

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis