Berekeningen met zwaartelijnen

Berekeningen met zwaartelijnen

  • zwaartelijn
  • driehoek
  • zwaartepunt

  Theorie

Uitdaging

In deze theorie leren we je wat een zwaartelijn is. Een zwaartelijn is een lijn met zijn eigen specifieke eigenschappen. Van deze eigenschappen kun je gebruik maken bij het bewijzen.

Methode

Een zwaartelijn is een lijn die je in een driehoek kunt tekenen. Een zwaartelijn loopt vanuit een hoek naar het midden van de overliggende zijde. Een driehoek heeft hierdoor altijd 3 zwaartelijnen. Vanuit elke hoek kun je namelijk een zwaartelijn tekenen.

Een eigenschap van een zwaartelijn is dat het de driehoek in 2 gelijke delen deelt qua oppervlakte. Als je bijvoorbeeld een stuk taart eerlijk wilt verdelen, dan kun je dit doen met behulp van de zwaartelijn.

Als je in een driehoek 2 zwaartelijnen tekent, dan heb je ook te maken met specifieke eigenschappen. De zwaartelijnen snijden elkaar in het zwaartepunt. In dit kruispunt worden de zwaartelijnen in 2 delen gedeeld. De lengte van deze delen staan altijd in verhouding 1 : 2 tot elkaar. Dus stel dat je een zwaartelijn hebt die 3 centimeter lang is. Als je in deze driehoek nog een zwaartelijn tekent, deel je deze zwaartelijn op in 2 delen. Het grootste deel is dan 2 centimeter en het kleine deel is 1 centimeter.

In een driehoek met 2 zwaartelijnen heb je het zwaartepunt al gevonden. Dit is namelijk het punt waar de zwaartelijnen elkaar snijden. Maar als je de derde zwaartelijn ook tekent, zul je zien dat deze ook door het zwaartepunt gaat. De 3 zwaartelijnen van een driehoek gaan namelijk altijd door 1 punt.

  Vuistregels

  • Een zwaartelijn is een lijn van een hoekpunt naar het midden van de overstaande zijde.
  • Het kruispunt van 2 zwaartelijnen verdeelt de zwaartelijnen in stukken die in verhouding 1 : 2 tot elkaar staan.
  • Het zwaartepunt is het punt waar alle drie de zwaartelijnen van een driehoek doorheen gaan.

  Voorbeeldvraag

In het assenstelsel is driehoek ABC getekend. Gegeven is dat zijde BC = 5,6 cm en dat AE en CD zwaartelijnen zijn, waarbij: CD = 4,6 cm en AE = 6 cm

a. Geef de coördinaten van het punt waarop een zwaartelijn vanaf hoek B zijde AC zou snijden.

b. Bereken de omtrek van driehoek CEZ.

 

Uitwerking:

a. Een zwaartelijn loopt altijd vanaf een hoekpunt naar het midden van de overstaande zijde. Vanuit hoekpunt B moet de zwaartelijn dus lopen naar het midden van AC. De coördinaten die hierbij horen zijn (0,6).

b. Omtrek CEZ = CE + EZ + CZ

$$CE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}· 5,6 = 2,8$$

EZ en CZ kun je berekenen met behulp van de regel dat 2 zwaartelijnen elkaar in stukken verdelen die in een 1 : 2 verhouding tot elkaar staan.

$$EZ = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3} · 6 = 2$$

$$CZ = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3} · 4,6 \approx 3,07$$

Omtrek = 2,8 + 2 + 3,07 = 7,87 cm

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis