Kwadraatafsplitsen - aantal oplo...

Kwadraatafsplitsen - aantal oplossing bepalen aan de hand van q

  • kwadraatafsplitsen
  • vergelijkingen oplossen
  • kwadratische vergelijking oplossen
  • kwadratische vergelijkingen

  Theorie

Uitdaging

Een vergelijking met de vorm q = (x + p)2 kan een verschillend aantal oplossingen hebben. Je leert hoe je dit afleest aan de vergelijking en hoe je deze vervolgens oplost.

Dit is handig om te kunnen, zodat je ook vergelijkingen kunt gaan oplossen die deze vorm nog niet hebben, maar waarvan je eerst het kwadraat moet afsplitsen.

Methode

Vergelijkingen van de vorm (x + p)2 = q kunnen 0, 1 of 2 oplossingen hebben:

- Als q < 0, dan heeft de vergelijking geen oplossing.

- Als q = 0, dan heeft de vergelijking 1 oplossing.

- Als q > 0, dan heeft de vergelijking 2 oplossingen.

Voorbeeld:

q < 0

(x + 3)2 = -4 en (x + 1)2 + 2 = 0 hebben allebei geen oplossingen. Bij (x + 3)2 = -4 zie je dit meteen en bij de vergelijking (x + 1)2 + 2 = 0 moet je eerst het getal 2 naar rechts halen, voordat je ziet dat q een negatief getal is:

(x + 1)2 + 2 = 0

(x + 1)2 = -2

q is een negatief getal, dus er is geen oplossing. Dit komt door het kwadraat aan de linkerkant van de vergelijking. Bij x2 = -4 bestaat er geen oplossing voor x, dus (x + 3)2 = -4 heeft ook geen oplossing.

q = 0

(x + 4)2 = 0 en (x - 2)2 - 2 = -2 hebben allebei 1 oplossing. Bij (x + 4)2 = 0 zie je dit meteen en bij de vergelijking (x - 2)2 - 2 = -2 moet je eerst het getal -2 naar rechts halen, voordat je ziet dat q gelijk staat aan 0:

(x - 2)2 - 2 = -2

(x - 2)2 = 0

q is 0, dus er is 1 oplossing:

x - 2 = 0

x = 2

q > 0

(x - 3)2 = 4 en (x + 1)2 - 5 = -3 hebben allebei 2 oplossingen. Bij (x - 3)2 = 4 zie je dit meteen en bij (x + 1)2 - 5 = -3 moet je eerst het getal -5 naar rechts halen, voordat je ziet dat q een positief getal is:

(x + 1)2 - 5 = -3

(x + 1)2 = 2

q is een positief getal, dus er zijn 2 oplossingen:

$$ x + 1 = \sqrt{2}$$ ∨ $$x + 1 = -\sqrt{2}$$

$$x = \sqrt{2} -1$$ ∨ $$x = -\sqrt{2} - 1 $$ dus $$x \approx{0,41}$$ ∨ $$x \approx{-2,41}$$

Om aan te geven dat er 2 oplossingen zijn gebruik je het teken ∨. Dit betekent 'of', de oplossing is 0,41 of -2,41.

  Vuistregels

  • (x + p)2 = q
  • Als q < 0, dan heeft de vergelijking geen oplossing
  • Als q = 0, dan heeft de vergelijking 1 oplossing
  • Als q > 0, dan heeft de vergelijking 2 oplossingen

  Voorbeeldvraag

a. Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking (x + 3)2 - 6 = -2?

b. Los de vergelijking op.

 

Uitwerking

a. 2 oplossingen.

(x + 3)2 - 6 = -2
(x + 3)2 = 4

q > 0 en dus zijn er 2 oplossingen voor de vergelijking.

b. $$x + 3 = \sqrt{4}$$ ∨ $$x + 3 = -\sqrt{4}$$

x + 3 = 2 ∨ x + 3 = -2

x = -1 ∨ x = -5

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis