kwadratische ongelijkheden oplossen

Gevorderd - kwadratische ongelijkheden oplossen

  • kwadratische vergelijking oplossen
  • kwadratische ongelijkheden

  Theorie

Uitdaging

Een kwadratische ongelijkheid heeft de vorm van een kwadratische vergelijking, maar dan zijn de linker- en rechter kant van de vergelijking niet aan elkaar gelijk, maar juist ongelijk aan elkaar.

Ongelijkheden kunnen worden aangegeven met de tekens kleiner dan < en groter dan >. Hoe je deze vergelijkingen kunt oplossen leggen we je uit in deze theorie.

Methode

f(x) < 0 betekent dat voor een bepaalde x, de uitkomst van y onder de x-as ligt.

  • In grafiek 1 is te zien dat f(x) < 0 bij een x die groter is dan 1 en kleiner is dan 3. Dit noteren we als volgt: f(x) < 0 geldt voor x > 1 en x < 3 (of 1 < x < 3).

f(x) > 0 betekent dat voor een bepaalde x, de uitkomst van y boven de x-as ligt.

  • In grafiek 1 is te zien dat f(x) > 0 is bij een x die kleiner is dan 1 en groter is dan 3. Dit noteren we als volgt: f(x) > 0 geldt voor x < 1 en x > 3.

Hetzelfde geldt voor f(x) > g(x) of f(x) < g(x) zoals in grafiek 2.

  • Te zien is dat f(x) > g(x) geldt voor x < 1 en x > 4.
  • En f(x) < g(x) geldt voor x > 1 en x < 4 (of 1 < x < 4).

Een functie kan dus groter of kleiner zijn dan een getal (bijvoorbeeld 0), of dan een andere functie. Om te bepalen op welk interval dit is, gebruik je de volgende stappen:

  • Stap 1: Bepaal de functie en stel de nieuwe vergelijking gelijk aan 0.

    Als een functie kleiner of groter is dan een getal:
    (x) < 0 of f(x) > 0 wordt f(x) = 0.

    Als een functie f(x) groter of kleiner is dan een andere functie g(x), stel je een nieuwe vergelijking op door alle termen naar de linkerkant te halen. Deze nieuwe vergelijking is groter of kleiner dan 0 en met deze nieuwe vergelijking ga je verder rekenen.

    Ongelijkheid: f(x) x2 + 2 > g(x) 5x - 4
    Alle termen naar links: x2 - 5x + 6 > 0
    Nieuwe vergelijking gelijkstellen aan 0: x2 - 5x + 6 = 0
  • Stap 2: Los de (nieuwe) vergelijking op.

    Dit kan door middel van:
    - Ontbinden in factoren
    - Abc-formule
    - Kwadraatfasplitsen
  • Stap 3: Dal- of bergparabool?

    Schets het figuur van de (nieuwe) functie uit stap 1 om erachter te komen of het een dal- of bergparabool is. Een ander trucje is om de a te bepalen. Bij a > 0 is het een dalparabool, a < 0 is een bergparabool.
  • Stap 4: Los de originele ongelijkheid op.

    Kijk waar je gevonden x-en liggen en beredeneer aan de hand van deze x-en wanneer de functie uit stap 2 kleiner of groter dan 0 is. De gevonden x-waarden zijn ook de waardes waarvoor functie1 uit stap 1 groter of kleiner is dan de andere functie (functie2). Je hebt nu dus de oorspronkelijke ongelijkheid opgelost.

  Vuistregels

  • Standaardvorm kwadratische vergelijking: ax2 + bc + c
  • a > 0 = dalparabool
  • a < 0 = bergparabool
  • f(x) < 0 of f(x) > 0 wordt f(x) = 0

  Voorbeeldvraag

a. Gegeven is de formule f(x) = x2 + 9x + 18. Los op: f(x) <0

b. Gegeven zijn de formules f(x) = x2 - x en g(x) = -3x + 8. Los op: f(x) > g(x)

 

Uitwerking

a. x2 + 9x + 18 < 0

Stap 1: Bepaal de functie en stel de nieuwe vergelijking gelijk aan 0.
x2 + 9x + 18 < 0 wordt x2 + 9x + 18 = 0

Stap 2:Hier ontbinden we in factoren.
(x + 6)(x + 3) = 0
x = -6 ∨ x = -3

Stap 3: Dal- of bergparabool?
Als we een grafiek schetsen (zie schets 1) zien we een dalparabool. Dit is tevens te zien met a = 1, dus a > 0.

Stap 4: Los de originele ongelijkheid op.
x2 + 9x + 18 < 0 geeft voor x > -6 en x < -3

 

b. x2 - x > -3x + 8

Stap 1: Bepaal de functie en stel de nieuwe vergelijking gelijk aan 0.

x2 - x > -3x + 8
x2 + 2x - 8 > 0
x2 + 2x - 8 = 0

Stap 2: Ontbinden in factoren.

(x -2)(x + 4) = 0
x = 2 ∨ x = -4

Stap 3: Dal- of bergparabool?
Als we de grafiek schetsen (Schets 2) zien we een dalparabool. Dit is tevens te zien met a = 1, dus a > 0.

Stap 4: Los de originele ongelijkheid op.

x2 + 2x - 8 > 0 geeft voor x > -4 en x < 2

Dit geldt dus ook voor onze oorspronkelijke ongelijkheid: x2 - x > -3x + 8 geldt voor x> -4 en x< 2

Word beter in de kernvakken en leer al je woordjes.

Probeer nu gratis